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    Cours: Analyse vectorielle et calcul symbolique

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    Farah
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    Cours: Analyse vectorielle et calcul symbolique

    Message par Farah le Sam 27 Sep - 9:54




    1. Définitions

    Nous utiliserons la notation anglo-saxonne pour les
    vecteurs, à savoir qu’un vecteur sera représenté par
    i (sans italique et en gras).

    On note le gradient de la
    fonction f :



    (on lit nabla de f). D’une manière plus
    générale il est pratique d’utiliser le gradient comme un opérateur symbolique
    (il indique l’opération que l’on effectue sur une fonction par exemple et non
    le résultat en lui-même) ; alors dans un repère (ex,
    ey, ez) le
    gradient représenté par nabla s’exprime par

    .

    Les règles de
    calcul sur le gradient sont semblables pour les fonctions à celles de la
    dérivation classique : par exemple grad(f1f2)=f1 gradf2+f2 gradf1
    .



    fig. 1 :
    représentation du gradient d’une surface.
    2. Divergence

    Par contre si on considére une fonction vectorielle A=(Ax ,
    Ay , Az) l’opérateur appliqué à A
    donne ce que l’on appelle la divergence de A qui n’est autre
    que le « produit scalaire » de et de A :


    .

    Que signifie la divergence d’un vecteur ?
    Prenons par exemple un vecteur A de l’espace et faisons lui traverser
    une surface S quelconque, on appelle flux de A à travers
    S la quantité de A qui se dirige suivant la normale à la surface
    (imaginez un fluide coulant sur une surface plane, le flux à travers la
    surface est évidemment nul, par contre si le fluide coule verticalement à travers
    une surface horizontale le flux sera maximal). On se doute alors que ce flux
    sera représenté par le produit scalaire de A et de la normale n
    à la surface.

    Première difficulté : en un endroit quelconque d’une
    surface on a en général deux normales, il faut donc en choisir une, mais si
    on choisit une direction cela signifie que l’on a orienté la surface.
    Conventionnellement on utilisera la
    règle habituelle du produit vectoriel (ou du tire-bouchon ou du bonhomme d’Ampère)
    : si on prend deux vecteurs orthonormés u, v avec
    (u, v)>0 sur S alors (en notation
    française) ou plutôt avec les notations
    utilisées partout ailleurs dans le monde...
    [/url]







    Dans le cas d’une surface fermée il n’y a pas d’ambiguïté
    et on prend en général la normale extérieure.

    Deuxième difficulté : à moins que la surface ne soit
    plane auquel cas la normale est la même partout ; cette normale change
    suivant les endroits, aussi on s’intéresse à un petit élément de surface ds.
    Un petit élément de flux sera dF=A.n ds et le
    flux total sera bien sûr

    .

    Supposons maintenant que notre vecteur A déplace un
    point M(x, y, z) de l’espace en M’(x+dx,
    y+dy, z+dz) à travers un parallélépipède
    rectangle de côtés dx, dy et dz ; on doit pouvoir
    écrire l’élément de flux de A à travers chaque face du
    parallélépipède : à travers la face (dy, dz) on a le
    vacteur A de composantes (P, Q, R) et n(1,
    0, 0) d’où

    dFx=(P(x+dx,
    y, z) – P(x, y, z))dydz

    soit

    ;

    on obtient les mêmes relations à travers les autres faces
    d’où

    .

    Par rapport à la première expression de F, le terme
    dxdydz indique un élément de volume et non plus de surface et F
    devient

    .

    Vous remarquez que le symbole d’intégration a
    changé : en effet il faut que la surface S soit fermée pour que
    l’écriture précédente ait un sens, ce qu’indique le petit rond. La formule
    ci-dessus est la formule d’Ostrogradsky qui définit en fait la divergence
    totale de A dans un volume comme le flux de A à travers les
    parois du volume, ce qu’exprime bien le nom divergence.



    3. Divergence en coordonnées cylindriques et
    sphériques


    Comme souvent les flux sont issus d’un point ou d’un
    élément cylindrique (comme un fil) il est intéressant d’avoir les expressions
    précédentes en coordonnées cylindriques ou sphériques.



    En coordonnées cartésiennes un point M(x, y, z)
    passe au point M’ par la translation de vecteur (dx, dy, dz).
    En coordonnées cylindriques le point M a pour coordonnées . On voit immédiatement que l’aire de la surface
    horizontale (s1) correspond à l’aire , que l’aire de la petite surface cylindrique intérieure (s2)
    correspond à et que l’aire de la
    surface plane (s3) de côté à .

    Les deux volumes (parallélépipède et élément de cylindre)
    sont quasiment semblables.

    On construit alors une base orthonormale locale au point : telle qu’un
    déplacement dr soit



    et l’élément de volume soit

    .

    Si f est une fonction, comme

    et ,

    on aura alors

    .

    Pour la divergence c’est semblable : avec A=(P, Q, R)
    exprimé en coordonnées cylindriques, on a à travers la surface (s2) :

    ,

    de même à travers (s3) :



    et à travers (s1) :

    .





    Remarquez qu’il faut tenir compte des termes où les
    variables sur lesquelles on dérive apparaissent. Finalement

    .

    Pour finir regardons ce que ça donne en coordonnées
    sphériques : comme précédemment on construit une base orthonormée au point M
    qui a comme coordonnées sphériques :

    ;

    le déplacement
    élémentaire est alors

    ,

    les aires de chaque surface sont indiquées sur la figure.
    L’élément de volume est



    et le gradient est :

    .

    Quand à la divergence elle donne avec A=(P, Q, R) :
    à travers s2 :

    ,

    à travers s3 :



    et enfin à travers s1 :

    .

    Finalement

    .










    Farah
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    Re: Cours: Analyse vectorielle et calcul symbolique

    Message par Farah le Sam 27 Sep - 9:55

    4. Rotationnel


    La divergence donne certaines indications sur le
    comportement d’un vecteur ou d’un champ de vecteurs : comment il se
    dirige par rapport à la normale et comment il traverse les surfaces, mais
    c’est insuffisant ; prenons un champ qui aurait la forme d’un cylindre
    et un autre champ qui aurait la forme d’une hélice de même diamètre que le
    cylindre ; s’ils se dirigent dans la même direction leur divergence sera
    identique alors que les mouvements sont bien différents. Il faut donc que
    nous déterminions la manière dont le champ est courbé quand il traverse une
    surface : ceci va être déterminé par la circulation du vecteur le
    long d’une courbe fermée, obtenue avec la somme des produits scalaires A.dr
    sur le contour :

    ;

    en fait ça revient au même de regarder comment est
    « tordu » le vecteur par rapport à la normale à la surface ;
    pour mesurer cela on définit le rotationnel ou vecteur tourbillon de
    A : rot A tel que

    .

    C’est la formule de Stokes qui est en fait ici une
    définition du rotationnel.






    Prenons un contour simple MUVW dans un plan
    parallèle à xOy et un vecteur A(P, Q, R) :
    la surface dS est dxdy, le vecteur n est (0, 0, 1) la
    composante de rot A suivant z sera alors (rot A)z
    et rotA.n dS vaut (rot A)z dxdy.

    De M(x, y, z) à U(x+dx,
    y, z) on suit (Ox), la circulation élémentaire est alors
    P(x, y, z)dx ; de U à V(x+dx,
    y+dy, z) on suit (Oy), la circulation est Q(x+dx,
    y, z)dy ; de V à W(x, y+dy,
    z) on suit (Ox) dans le sens opposé, la circulation est – P(x+dx,
    y+dy, z)dx ; enfin on revient à M en
    suivant (Oy) en sens opposé, la circulation est alors – Q(x,
    y+dy, z)dy :

    A.dr
    =P(x, y, z)dx+Q(x+dx,
    y, z)dyP(x+dx, y+dy,
    z)dxQ(x, y+dy, z)dy

    La variation de P suivant dy donne P(x,
    y, z) – P(x+dx, y+dy,
    z)=, de même pour Q suivant dx, soit



    et

    .

    Par permutation circulaire on obtient alors





    5. Rotationnel en coordonnées cylindriques et
    sphériques


    En réutilisant les mêmes techniques que pour la divergence
    nous écrivons la circulation de A le long d’un contour correspondant à
    un petit morceau de cylindre orthogonal à (Oz) : MUVW.





    ,

    ,

    ,

    ;

    la circulation totale
    donne donc après regroupement des termes :

    ,

    d’où



    dans le deuxième crochet on retrouve



    (dérivée du produit) et dans le troisième , d’où

    .

    Je ne vous inflige pas les autres (bien que ce soit un
    exercice absolument passionnant), et on trouve finalement :



    On aurait pu remarquer dans les formules obtenues pour le
    rotationnel en coordonnées cartésiennes que nous avions fait en réalité le
    produit vectoriel de l’opérateur et de A ;
    comme on connaît



    en c. cylindriques, faisons le produit vectoriel



    ce qui nous donne

    ;

    c’est un peu dommage car le terme



    n’est pas apparu. Essayons en coordonnées sphériques où
    l’on obtient avec les méthodes précédentes :



    ce qui donne exactement les mêmes problèmes avec le
    produit vectoriel de



    et de A. Visiblement lorsqu’une expression d’une
    variable apparaît au dénominateur, il faut qu’elle apparaisse dans la dérivée
    partielle par rapport à elle-même : on remplace par exemple



    par

    .

    Ca fonctionne dans les deux exemples précédents.



    6. Opérateurs du second ordre



    Si on compose nos différents opérateurs on obtient des
    opérateurs du second ordre comme le rotationnel du gradient par exemple.
    Regardons les principaux cas :

    Rotationnel d’un gradient : utilisons
    le produit vectoriel :



    où chaque composante est nulle (on démontre que sous
    quelques conditions simples on peut effectuer les dérivées partielles dans
    n’importe quel ordre, le résultat est identique ; voir par exemple
    Piskounov, T1, ch Cool donc rot(gradf)=0.

    D’ailleurs en considérant le produit vectoriel du vecteur avec lui-même on
    obtient bien 0 (). Ce résultat va beaucoup servir en physique pour la
    raison suivante : lorsqu’un vecteur A est le gradient d’une
    fonction f on dit que A est un champ potentiel ; on
    voit que si A est un potentiel il est irrotationnel, c’est à
    dire que son rotationnel est nul. Réciproquement si un champ A est
    irrotationnel est-il potentiel ? La réponse est oui à condition que
    l’espace sur lequel on travaille soit simplement connexe : toute
    boucle peut se ramener à un point par déformation ; un tore n’est pas
    simplement connexe alors qu’une sphère l’est (théorème de Poincaré). La
    différence entre les deux types de topologie fait que dans un cas toute
    boucle peut se décomposer en somme de sous-boucles (simplement connexe) alors
    que dans l’autre cas ce n’est pas possible. Si le rotationnel est nul et
    l’espace connexe, la circulation le long de toute boucle fermée est nulle,
    même si elle est très petite et seul le gradient d’une fonction peut réaliser
    ce tour de force.

    Divergence du rotationnel :
    nulle ; si on utilise , on a



    puisque le vecteur égal au produit vectoriel de deux
    vecteurs est orthogonal à ces vecteurs.

    Divergence du gradient : pas nulle du
    tout par contre ! En coordonnées cartésiennes on a

    ,

    appelé le laplacien de f (notation due à
    Gabriel Lamé). On peut considérer de manière un peu simpliste que si f
    représente une trajectoire dans l’espace, le gradient représente la vitesse
    et le laplacien représente le carré de la vitesse de f. Le laplacien
    sera donc relié à l’énergie cinétique…

    Exprimons le laplacien en coordonnées cylindriques :



    et enfin en coordonnées sphériques :

    .

    hans
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    Re: Cours: Analyse vectorielle et calcul symbolique

    Message par hans le Lun 2 Fév - 7:28

    salut, j'suis hans je suis 1nouveau membre du site bon ma recherche consiste à trouver des cours d'infographie tout niveaux.svp aide-moi j'en n'est besoin. merci

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    Re: Cours: Analyse vectorielle et calcul symbolique

    Message par Farah le Sam 14 Fév - 8:45

    hans a écrit:salut, j'suis hans je suis 1nouveau membre du site bon ma recherche consiste à trouver des cours d'infographie tout niveaux.svp aide-moi j'en n'est besoin. merci

    Tu es le bienvenue parmi nous, mais je ne pense pas que notre forum peut vraiment t'aider. scratch
    Ici, c'est en général des aide en maths, niveau lycée, collège et primaire, en plus de ça il y en a des débats généraux.
    Mais bon, voilà ce forum de photographie qui peut bien t'aider :
    http://frago.wordpress.com/forum-infographie/


    Salam

    galois
    heeeeeeeey!! i'm the best!
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    Re: Cours: Analyse vectorielle et calcul symbolique

    Message par galois le Ven 8 Jan - 12:15

    merci
    il est clair :d


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    Re: Cours: Analyse vectorielle et calcul symbolique

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